양자역학의 공준 2 : 입자 상태의 진화

이 자료는 김태현 교수님의 양자 컴퓨팅 및 정보의 기초 강의를 바탕으로 정리하였습니다.

Postulate 2

The evolution of a "closed" quantum system is described by a unitary transform

시간에 따른 닫힌 양자의 상태 변화는 unitary transform matrix로 표현 가능하다. (Unitary matrix에 대한 설명은 밑에 추가하였다.)

X가 unitary matrix일 경우, 양자의 다음 상태는 다음 식으로 계산할 수 있다.

양자의 다음 상태 계산

예를 들어 2개의  ket |0⟩, |1⟩ 를 기저로 하는 벡터 공간에서 , 다음과 같은 unitary matrix X, unitary matrix H에 의해서 양자 상태가 진화한다고 하자.

Unitary matrix X, H

그렇다면 이때 2개의 ket |0⟩, |1⟩의 X, H에 의해 변환된 다음 상태는 그림과 같이 계산 가능하다.

다음 상태 계산

 

 

 

Adjoint of an matrix

Unitary matrix 설명에 앞서 adjoint라는 개념을 알아야 한다.

복소 벡터공간에서 matrix의 adjoint는 실수 벡터공간에서의 matrix의 transpose의 개념과 같다.

즉 전치행렬 + complex conjugate를 하면 된다. (저 십자가는 dagger라고 발음한다.)

Ket |V⟩의 대응되는 bra는 ⟨V|이다.

그렇다면 ket Ω|V⟩ = |ΩV⟩의 대응되는 bra는 ⟨ΩV|인데, Ω의 adjoint matrix에 대해서는 다음과 같은 성질이 있다.

 

 

 

Unitary operation

Adjoint 개념을 알았으면 unitary operation의 개념을 정의할 수 있다.

Definition: an operator U is unitary if

Field를 실수에 한정한다면, orthogonal operation와 같은 개념이다.