양자역학의 공준 3 : 코펜하겐 해석

이 자료는 김태현 교수님의 양자 컴퓨팅 및 정보의 기초 강의를 바탕으로 정리하였습니다.

Postulate 3

(Copenhagen interpretation) If the particle is in a state |ψ⟩, measuremnt of the variable Ω will yield one of the eigenvalues ωi with probability of P(ωi) ∝ |⟨ωi|ψ⟩|^2

즉, 입자는 중첩된 상태로 존재하지만(상태를 나타내는 벡터 |ψ⟩), 관측 결과는 하나의 값(ωi)으로 정해진다. 이 때, 입자의 중첩된 여러 상태 중 관측에 의해 관측 결과가 ωi로 정해질 확률 P(ωi)는 |⟨ωi|ψ⟩|^2에 비례하여 계산할 수 있다.

입자를 관측한다는 행위는 입자의 상태 |ψ⟩에 행렬 Ω를 곱하는 것으로 표현되며, 그 결과 Ω|ψ⟩가 나타내는 관측 결과는 항상 실수이다.

공준 1에 의해서 입자는 여러 상태가 중첩되었다고 하는데, 관측에 의해 이러한 중첩된 입자의 상태 |ψ⟩는 하나의 상태인 |ωi⟩로 결정되고, 이를 "collapse"했다고 표현한다.

 

 

 

예제 : Two Level Atom

양자역학의 공준 1에서 설명한 Two-level atom 예제를 이용하면 공식은 좀 더 쉽게 이해할 수 있다 (이유는 아무도 모른다). Excited 상태의 전자의 에너지를 ℏω1, ground 상태의 전자의 에너지를 ℏω0이라고 하자.

Two level atom 예제.

우리가 관측하고자 하는 것을 "전자의 에너지"라고 한다면 Ω는 다음과 같이 표현 가능하다. (|0⟩, |1⟩는 Ω의 orthonormal eigenvector라고 가정)

Ω와 같은 operator의 행렬은 물리법칙을 통해 유도할 수 있다.  위와 같은 행렬로 operator Ω를 정의하면 excited 전자의 상태를 나타내는 |1⟩과 ground 전자의 상태를 나타내는 |0⟩에 대하여, Ω|0⟩ = ℏω0|0⟩, Ω|1⟩ = ℏω1|1⟩이 나온다. 관측 결과가 맞다. 

 

다시 돌아와서, 어떤 전자의 상태를 |ψ⟩로 나타낸다면 다음과 같이 나타낼 수 있다. (|0⟩일 확률 α, |1⟩일 확률 β)

이때 이 전자를 에너지를 관측하고 싶다면 이 전자의 상태에 관측 행위를 나타내는 행렬 Ω를 곱하면 된다. 이때 공준 3에 의해 그 값은 Ω의 eigenvalue중 하나를 보여준다.

즉 어떤 입자를 나타내는 상태 |ψ⟩는, 관측 시 |0⟩ 또는 |1⟩로 결정된다.

이때 |ψ⟩가 |0⟩일 확률은 α^2에 비례, |1⟩일 확률은 β^2에 비례한다. |ψ⟩는 unit vector, |0⟩, |1⟩는 Ω의 orthonormal eigenvectors라면 다음을 만족한다.