양자역학의 공준 1 : 입자의 상태

이 자료는 김태현 교수님의 양자 컴퓨팅 및 정보의 기초 강의를 바탕으로 정리하였습니다.

Postulate 1

The state of the particle is represented by a vector |ψ(t)⟩ in a Hilbert space

입자의 상태는 Hilbert space 상의 vector |ψ(t)⟩ 으로 표현 가능하다. 입자의 상태는 여러 상태의 중첩으로 생각할 수 있다.  다음 예제(Two-level atom)를 생각해보자. 

Two level atom 예제

원자에 단 두 개의 에너지 레벨 (ground=0, excited=1)만 있다고 가정하자. 이때 전자의 위치는 |1⟩에 있거나, |0⟩에 있을 수 있다. |0⟩에 있을 확률을 α, |1⟩에 있을 확률을 β라 한다면 전자의 위치 |ψ⟩는 다음과 같이 표현할 수 있다.

전자의 상태 표현

우리가 보기에는 전자는 |0⟩ 또는 |1⟩에 위치하는 결과만을 관측할 수 있지만, 전자는 두 위치에 확률 상으로 존재한다. 즉 전자는 여러 상태가 중첩된 상태이다.

 

 

 

Hilbert space

이때, 힐베트르 (힐버트) 공간은 다음과 같이 정의된다.

• An inner product space that is complete with respect to the norm defined by the inner product.[1].
  • Complex: 복소수벡터공간에 속함.
  • Inner product가 정의됨
    • 내적의 결과는 number
    • Skew-symmetry : ⟨A|B⟩ = ⟨B|A⟩*
    • Positive semidenfinite : ⟨A|A⟩ ≥ 0, 0 iff |A⟩ = |0⟩
    • Linearity in ket : ⟨A|(b|B⟩+c|C⟩)⟩ = b⟨A|B⟩ + c⟨A|C⟩
  • 완비성(Completeness) :  공간에 구멍이 뚫려있지 않아 모든 코시수열의 극한이 존재함
    • 이거는 공부를 좀 해야겠다.

 

 

Reference

[1] https://www.quantiki.org/wiki/hilbert-spaces